สำหรับโพเซต ~iX~i ให้ ~iOT~i(~iX~i), ~iOP~i(~iX~i) และ ~iOI~i(~iX~i)แทนกึ่งกรุปการแปลงเต็มที่รักษาอันดับบน ~iX~i กึ่งกรุปการแปลงบางส่วนที่รักษาอันดับบน ~iX~i และกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนหนึ่งต่อหนึ่งที่รักษาอันดับบน ~iX~i ตามลำดับความจริงในเรื่องการเป็นปกติเกี่ยวกับกึ่งกรุปการแปลงที่รักษาอันดับต่อไปนี้เป็นที่ทราบกันแล้ว สำหรับเซตย่อยอันดับทุกส่วน ~iX~i ของ ~iZ~i ใด ๆ ~iOT~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปกติ และสำหรับช่วง ~iX~i ใน ~b~iIR~i~b ~iOT~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปกติก็ต่อเมื่อ ~iX~i เป็นช่วงปิดและมีขอบเขต กึ่งกรุป ~iOP~i(~iX~i) และ ~iOI~i(~iX~i)เป็นกึ่งกรุปปกติสำหรับเซตอันดับทุกส่วน ~iX~i ใด ๆ ทฤษฎีบทสมสัณฐานที่น่าสนใจบทหนึ่งเกี่ยวกับกึ่งกรุปการแปลงเต็มที่รักษาอันดับคือ สำหรับโพเซต ~iX~i และ ~iY~i ใด ๆ~iOT~i(~iX~i) (+,...) ~iOT~i(~iY~i) ก็ต่อเมื่อ ~iX~i และ ~iY~i ไม่สมสัณฐานอันดับกันก็ปฏิสมสัณฐานอันดับกัน จุดมุ่งหมายของเราคือให้ผลที่มากขึ้นเกี่ยวกับการเป็นปกติและทฤษฎีบทสมสัณฐานของกึ่งกรุปการแปลงที่รักษาอันดับ ขั้นแรกเราแสดงให้เห็นว่า สำหรับช่วง ~iX~iในฟิลด์ย่อย ~iF~i ของ ~b~iIR~i~b ซึ่ง (+,ฝ)~iX~i(+,ฝ)>1 ~iOT~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปกติ ก็ต่อเมื่อ ~iF~i = ~b~iIR~i~b และ ~iX~i เป็นช่วงปิดและมีขอบเขต ขั้นต่อไปเราได้พิจารณากึ่งกรุปย่อยของกึ่งกรุป ~iOT~i(~iX~i), ~iOP~i(~iX~i) และ ~iOI~i(~iX~i)ตามลำดับต่อไปนี้ ~iOT~i(~iX, X~i('(+,ข))) = {~i(+,a)~i (+,ฮ) ~iOT~i(~iX~i) (+,ฝ)ran ~i(+,a)~i (+,อ) ~iX~i('(+,ข))}, ~iOP~i(~iX, X~i('(+,ข)) = {~i(+,a)~i (+,ฮ)~iOP~i(~iX~i) (+,ฝ) ran ~i(+,a)~i (+,อ) ~iX~i('(+,ข))} และ ~iOI~i(~iX, X~i('(+,ข))= {~i(+,a)~i (+,ฮ) ~iOI~i(~iX~i) (+,ฝ) ran ~i(+,a)~i (+,อ) ~iX~i('(+,ข))}โดยที่ ~iX~i('(+,ข)) เป็นเซตย่อยอันดับทุกส่วนของเซตอันดับทุกส่วน ~iX~i เราจะบอกลักษณะว่าเมื่อใด ~iOT~i(~iX, X~i('(+,ข))) เป็นกึ่งกรุปปกติในเทอมของ ~iX~i,X~i('(+,ข)) และการเป็นปกติของ ~iOT~i(~iX~i) ทั้งยังพิสูจน์ด้วยว่า ~iX~i = ~iX~i('(+,ข))เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ ~iOP~i(~iX, X~i('(+,ข))) และ ~iOI~i(~iX,X~i('(+,ข)) ที่จะเป็นกึ่งกรุปปกติ ทฤษฎีบทสมสัณฐานของกึ่งกรุปการแปลงที่รักษาอันดับที่น่าสนใจที่ได้ในงานวิจัยนี้มีดังต่อไปนี้ ถ้า ~iOT~i(~iX, X~i('(+,ข)))(+,...) ~i(OT~i(~iY, Y~i('(+,ข))) แล้ว ~iX~i('(+,ข)) และ ~iY~i('(+,ข))ไม่สมสัณฐานอันดับกันก็ปฏิสมสัณฐานอันดับกัน ถ้า ~iOP~i(~iX, X~i('(+,ข)) (+,...)~iOP~i(~iY, Y~i('(+,ข))) แล้ว (+,ฝ)~iX~i('(+,ข))(+,ฝ) = (+,ฝ) ~iY~i('(+,ข))(+,ฝ)และ ~iX~i('(+,ข)) และ ~iY~i('(+,ข)) ไม่สมสัณฐานอันดับกันก็ปฏิสมสัณฐานอันดับกันยิ่งไปกว่านั้นสำหรับ (+,ฝ)~iX~i('(+,ข))(+,ฝ) > 1 และ (+,ฝ)~iY~i('(+,ข))(+,ฝ) > 1~iOI~i(~iX, X~i('(+,ข))) (+,...) ~iOI~i(~iY, Y~i('(+,ข))) ก็ต่อเมื่อมีสมสัณฐานอันดับหรือปฏิสมสัณฐานอันดับ (+,q) : ~iX~i (+,ฎ) ~iY~i โดยที่ ~iX~i('(+,ข))(+,q)= ~iY~i('(+,ข)) ทฤษฎีบทสมสัณฐานแรกของเรานี้เป็นการขยายทฤษฎีบทสมสัณฐานที่รู้กันแล้วดังกล่าวข้างต้นในกรณีของเซตอันดับทุกส่วน เราได้แสดงด้วยว่าบทกลับของทฤษฎีบทสมสัณฐานสองทฤษฎีบทแรกไม่จริงโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม ผลตามมาที่น่าสนใจของทฤษฎีบทสมสัณฐานสองทฤษฎีบทนี้คือสำหรับเซตอันดับทุกส่วน ~iX~i และ ~iY~i ใด ๆ ~iOP~i(~iX~i)(+,...) ~iOP~i(~iY~i) [~iOI~i(~iX~i) (+,...) ~iOI~i(~iY~i)] ก็ต่อเมื่อ ~iX~iและ ~iY~i ไม่สมสัณฐานอันดับกันก็ปฏิสมสัณฐานอันดับกัน