สำหรับเซต ~iX~i ให้ ~iP~i(~iX~i), ~iT~i(~iX~i) และ ~iI~i(~iX~i) แทนกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนบน ~iX~i กึ่งกรุปการแปลงเต็มบน ~iX~i และกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนหนึ่งต่อหนึ่งบน ~iX~i ตามลำดับ เราให้ด้วยว่า ~iAP~i(~iX~i) = {~i(+,a)~i (+,ฮ)~iP~i(~iX~i) (+,ฝ) (+,a) เกือบเป็นเอกลักษณ์ } และนิยาม ~iAT~i(~iX~i) และ ~iAI~i(~iX~i)ในทำนองเดียวกัน ดังนั้น ~iAP~i(~iX~i), ~iAT~i(~iX~i) และ ~iAI~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปย่อยของ ~iP~i(~iX~i), ~iT~i(~iX~i) และ ~iI~i(~iX~i) ตามลำดับ เราให้นัยทั่วไปของกึ่งกรุปการแปลงบน ~iX~i (กึ่งกรุปย่อยของ ~iP~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุป (~iS~i(~iX~i),~i(+,q)~i) โดยที่ ~iS~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปการแปลงบน ~iX~i, ~i(+,q)~i (+,ฮ) ~iS~i('1)(~iX~i)และ (~iS~i(~iX~i), ~i(+,q)~i) = (~iS~i(~iX~i), *) โดย ~i(+,a)~i * ~i(+,b)~i =~i(+,a)(+,q)(+,b)~i สำหรับทุก ~i(+,a), (+,b)~i (+,ฮ) ~iS~i(~iX~i) สำหรับโพเซต ~iX~i ให้ ~iP(,RE)~i(~iX~i) = { ~i(+,a)~i (+,ฮ) ~iP~i(~iX~i)(+,ฝ) ~i(+,a)~i เป็นการแปลงบางส่วนที่ถดถอย } และเรานิยาม ~iT(,RE)~i(~iX~i),~iI(,RE)~i(~iX~i), ~iAP(,RE)~i(~iX~i), ~iAT(,RE)~i(~iX~i) และ ~iAI(,RE)~i(~iX~i)ในทำนองเดียวกัน ดังนั้น ~iP(,RE)~i, (~iX~i), ~iT(RE)~i(~iX~i), ~iI(,RE)~i(~iX~i),~iAP(,RE)~i(~iX~i), ~iAT(,RE)~i(~iX~i) และ ~iAI(,RE)~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปย่อยของ~iP~i(~iX~i), ~iT~i(~iX~i), ~iI~i(~iX~i), ~iAP~i(~iX~i), ~iAT~i(~iX~i)และ ~iAI~i(~iX~i) ตามลำดับ ความจริงต่อไปนี้เป็นที่รู้กันแล้ว ถ้า ~iS~i(~iX~i) คือ~iP(,RE)~i(~iX~i), ~iI(,RE)~i(~iX~i), ~iAP(,RE)~i(~iX~i), หรือ ~iAI(,RE)~i(~iX~i)แล้ว ~iS~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปรกติ ก็ต่อเมื่อ ทุกจุดใน ~iX~i เป็นจุดเอกเทศ ถ้า~iS~i(~iX~i) คือ ~iT(,RE)~i(~iX~i) หรือ ~iAT(,RE)~i(~iX~i) แล้ว ~iS~i(~iX~i)เป็นกึ่งกรุปปรกติ ก็ต่อเมื่อ (+,ฝ)~iC~i(+,ฝ) (+,ฃ) 2 สำหรับทุกเซตย่อยอันดับทุกส่วน~iC~i ของ ~iX~i ถ้า ~iS~i(~iX~i) คือ ~iP(,RE)~i(~iX~i), ~iT(,RE)~i(~iX~i), หรือ~iI(,RE)~i(~iX~i) แล้ว ~iS~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปรกติในที่สุด ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็มบวก ~in~i ซึ่ง (+,ฝ)~iC~i(+,ฝ)(+,ฃ)~in~i สำหรับทุกเซตย่อยอันดับทุกส่วน ~iC~iของ ~iX~i ยิ่งไปกว่านั้นทุกกึ่งกรุปการแปลงเกือบเป็นเอกลักษณ์ที่ถดถอยบน ~iX~i(ทุกกึ่งกรุปย่อยของ ~iAP(,RE)~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปรกติในที่สุด วัตถุประสงค์ของการวิจัยนี้คือให้นัยทั่วไปของผลที่รู้กันแล้วทั้งหมดที่กล่าวไว้ข้างต้นโดยการพิจารณาผลเหล่านั้นบนกึ่งกรุป (~iS~i(~iX~i), ~i(+,q)~i) โดย~i(+,q)~i (+,ฮ) ~iS~i('1)(~iX~i) และ ~iS~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปการแปลงที่ถดถอยบน ~iX~i ตามวัตถุประสงค์ของเรา นอกจากนี้ เรายังให้ทฤษฎีบทสมสัณฐานบางทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับกึ่งกรุปการแปลงนัยทั่วไปที่ถดถอยด้วย