สำหรับเซต ~iX~i ให้ ~iP~i(~iX~i), ~iT~i(~iX~i), และ ~iI~i(~iX~i)แทนกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนบน ~iX~i กึ่งกรุปการแปลงเต็มบน ~iX~i และกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนหนึ่งต่อหนึ่งบน ~iX~i ตามลำดับ เราให้นัยทั่วไปของกึ่งกรุปการแปลงเหล่านี้ดังนี้ สำหรับเซต ~iX~i และ ~iY~i ให้ ~iP~i(~iX~i, ~iY~i) = {(+,a) :~iA~i(+,ฎ)~iY~i(+,ฝ)~iA~i(+,อ)~iX~i}, ~iT~i(~iX~i, ~iY~i) = {(+,a)(+,ฮ)~iP~i(~iX~i, ~iY~i)(+,ฝ) dom (+,a)=~iX~i} และ ~iI~i(~iX~i, ~iY~i) ={(+,a)(+,ฮ) ~iP~i(~iX~i, ~iY~i) (+,ฝ) (+,a) หนึ่งต่อหนึ่ง} สำหรับ(+,q)(+,ฮ) ~iP~i(~iY~i, ~iX~i) ให้ (~iP~i(~iX~i, ~iY~i), (+,q))แทนกึ่งกรุป (~iP~i(~iX~i, ~iY~i),*) โดย (+,a)*(+,b)=(+,a)(+,q)(+,b)สำหรับทุก (+,a),(+,b) (+,ฮ) ~iP~i(~iX~i, ~iY~i) เรานิยามกึ่งกรุป (~iT~i(~iX~i,~iY~i),(+,q)) โดย (+,q) (+,ฮ) ~iT~i(~iY~y, ~iX~i) และ (~iI~i(~iX~i,~iY~i), (+,q)) โดย (+,q) (+,ฮ) ~iI~i(~iY~i, ~iX~i) ในทำนองเดียวกัน สำหรับโพเซต ~iX~i ให้ ~IOP~i(~iX~i), ~iOT~i(~iX~i) และ ~iOI~i(~iX~i)แทนกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนที่รักษาอันดับบน ~iX~i กึ่งกรุปการแปลงเต็มที่รักษาอันดับบน ~iX~i และกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนหนึ่งต่อหนึ่งที่รักษาอันดับบน ~iX~i ตามลำดับสำหรับโพเซต ~iX~i และ ~iY~i ใด ๆ ให้ ~iOP~i(~iX~i, ~iY~i) = {(+,a)(+,ฮ)~iP~i(~iX~i, ~iY~i) (+,ฝ) (+,a) รักษอันดับ} สำหรับ (+,q) (+,ฮ)~iOP~i(~iY~i, ~iX~i) ให้ (~iOP~i(~iX~i, ~iY~i), (+,q)) แทนกึ่งกรุป(~iOP~i(~iX~i, ~iY~i),*) โดยกำหนดการดำเนินการ* เช่นเดียวกับข้างบน เรานิยามกึ่งกรุป(~iOT~i(~iX~i, ~iY~i), (+,q)) โดย (+,q) (+,ฮ) ~iOT~i(~iY~i, ~iX~i) และ(~iOI~i(~iX~i, ~iY~i), (+,q)) โดย (+,q) (+,ฮ) ~iOI~i(~iY~i, ~iX~i)ในทำนองเดียวกัน ความจริงต่อไปนี้เป็นที่รู้กันแล้ว ถ้า ~iX~i เป็นเซตอันดับทุกส่วน แล้ว~iOP~i(~iX~i) และ ~iOI~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปรกติ สำหรับสับเซต ~iX~i ของ ~iZ~iที่ไม่ว่างใด ๆ ~iOT~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปรกติ ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับช่วง ~iX~iของ ~b~iIR~i~b ที่ไม่ว่าง ~iOT~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปรกติก็ต่อเมื่อ ~iX~iเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ในการวิจัยนี้เราให้นำความจริงที่รู้กันอันแรกที่กล่าวไว้แล้วข้างต้นมาใช้ในการบอกลักษณะว่าเมื่อใดกึ่งกรุป (~iOP(~iX~i, ~iY~i), (+,q)) โดย (+,q) (+,ฮ)~iOP~i(~iY~i, ~iX~i) และกึ่งกรุป (~iOI~i(~iX~i, ~iY~i), (+q)) โดย (+,q)(+,ฮ) ~iOI~i(~iY~i, ~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปรกติโดยที่ ~iX~i และ ~iY~i เป็นเซตอันดับทุกส่วน เราแสดงว่าการเป็นสมสัณฐานของ (+,q) เป็นเงื่อนไขจำเป็นและเพียงพอหลักสำหรับการเป็นปรกติของกึ่งกรุปเหล่านี้ และเรายังให้ลักษณะด้วยว่าเมื่อใดกึ่งกรุป(~iOT~i(~iX~i, ~iY~i), (+,q)) โดย (+,q) (+,ฮ) ~iOT~i(~iY~i, ~iX~i)เป็นกึ่งกรุปปรกติ โดยที่ ~iX~i และ ~iY~i เป็นเซตอันดับทุกส่วน ในการให้ลักษณะนี้จะให้ในเทอมของความเป็นกึ่งกรุปปรกติของ ~iOT~i(~iX~i), (+,ฝ)(~iX~i)(+,ฝ),(+,ฝ)~iY~i(+,ฝ) และ (+,q) จากผลที่รู้กันแล้วอันที่สองและที่สามข้างต้น ทำให้การให้ลักษณะของความเป็นกึ่งกรุปปรกติของ (~iOT~i(~iX~i, ~iY~i, (+,q) โดยที่ทั้ง~iX~i และ ~iY~i เป็นสับเซตของ ~iZ~i ที่มีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัว และเมื่อทั้ง~iX~i และ ~iY~i เป็นช่วงของ ~b~iIR~i~b ที่มีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัวสามารถให้ในเทอมของ (+,q) และในเทอมของ ~iX~i และ (+,q) ตามลำดับ ยิ่งไปกว่านั้นเราให้ทฤษฎีบทสมสัณฐานที่น่าสนใจบางทฤษฎีบท โดยที่ ~iX~i และ ~iY~i เป็นเขตอันดับทุกส่วน เราให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเพื่อว่า (~iOS~i(~iX~i, ~iY~i), (+,q))(+,..) ~iOS~i(~iX~i) และเพื่อว่า (~iOS~i(~iX~i, ~iY~i), (+,q)) (+,..)~iOS~i(~iY~i) โดยที่ ~iOS~i(~iX~i, ~iY~i) คือ ~iOP~i(~iX~i, ~iY~i)~iOT~i(~iX~i,~iY~i) หรือ ~iOI~i(~iX~i, ~iY~i) และ (+,q) (+,ฮ) ~iOS~i(~iY~i, ~iX~i)