เราเรียกการแปลงบางส่วน ~i(+,a)~i บนโพเซตว่าเป็น~iการแปลงบางส่วนถดถอย~iถ้า ~ix(+,a)~i (+,ฃ) ~ix~i สำหรับทุก ~ix~i ในโดเมนของ ~i(+,a)~i สำหรับโพเซต~iX~i ให้ ~iP(,RE)~i(~iX~i), ~iI(,RE)~i(~iX~i) และ ~iT(,RE)~i(~iX~i) แทนกึ่งกรุปการแปลงบางส่วนถดถอยบน ~iX~i กึ่งกรุปการแปลงบางส่วนหนึ่งต่อหนึ่งถดถอยบน ~iX~i และกึ่งกรุปการแปลงเต็มถดถอยบน ~iX~i ตามลำดับ ผลเกี่ยวกับการเป็นปกติ และการเป็นปกติในที่สุด ต่อไปนี้เป็นที่รู้กันแล้ว ~iP(,RE)~i(~iX~i) [~iI(,RE)~i(~iX~i)] เป็นกึ่งกรุปปกติ ก็ต่อเมื่อทุกจุดใน ~iX~i เป็นจุดเอกเทศ และ ~iT(,RE)~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปกติ ก็ต่อเมื่อ (+,ฝ)~iC~i(+,ฝ) (+,ฃ) 2 สำหรับทุกเซตย่อยอันดับทุกส่วน~iC~i ของ ~iX~i ถ้า ~iS~i(~iX~i) คือ ~iP(,RE)~i(~iX~i), ~iT(,RE)~i(~iX~i)หรือ~iI(,RE)~i(~iX~i) แล้ว ~iS~i(~iX~i) เป็นกึ่งกรุปปกติในที่สุด ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็มบวก~in~i ซึ่ง (+,ฝ)~iC~i(+,ฝ) (+,ฃ) ~in~i สำหรับทุกเซตย่อยอันดับทุกส่วน ~iC~i ของ~iX~i เออูมาร์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสมสัณฐานที่สำคัญดังนี้ สำหรับเซตอันดับทุกส่วน ~iX~i และ~iY~i ใด ๆ ~iT(,RE)~i(~iX~i) (...) ~iT(,RE)~i(~iY~i) ก็ต่อเมื่อ ~iX~i และ~iY~i สมสัณฐานอันดับกัน วัตถุประสงค์ของการวิจัยนี้คือขยายผลจากสิ่งที่รู้แล้วข้างต้น เราพิจารณากึ่งกรุปย่อยของ ~iP(,RE)~i(~iX~i), ~iI(,RE)~i(~iX~i) และ ~iT(,RE)~i(~iX~i)ต่อไปนี้ โดยที่ ~iX~i('(+,ข)) เป็นโพเซตย่อยของ ~iX~i, ~iP(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข))= {~i(+,a)~i (+,ฮ) ~iP(,RE)~i(~iX~i) (+,ฝ) ran~i(+,a)~i (+,อ)~iX~i('(+,ข))},~i((P))(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข))= {~i(+,a)~i(+,ฮ) ~iP(,RE)~i(~iX~i) (+,ฝ) ~iX~i('(+,ข))~i(+,a)~i (+,อ) ~iX~i('(+,ข))}และ ~iI(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)), ~i((I))(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)),~iT(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)) และ (~i((T))(,RE)~i)(~iX,X~i('(+,ข)) นิยามในทำนองเดียวกันเราจะให้ลักษณะว่าเมื่อใดที่กึ่งกรุป ~iP(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)),~iI(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)), ~iT(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)), ~i((P))(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)), ~i((I))(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข)) และ ~i((T))(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข))เหล่านี้เป็นปกติ ซึ่งทำให้ผลเกี่ยวกับการเป็นปกติข้างต้นนั้น กลายเป็นกรณีเฉพาะของผลที่ได้นี้ สำหรับการเป็นปกติในที่สุดนั้น เราจะใช้ผลที่ทราบมาแล้ว และบทตั้งบทหนึ่งของผลนี้มาใช้ในการหาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอในการเป็นปกติในที่สุดของกึ่งกรุปเหล่านี้ทฤษฎีบทสมสันฐานที่สำคัญที่ได้จากการวิจัยนี้มีดังนี้ ถ้า ~iP(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข))(+,...) ~iP(,RE)(~iY,Y~i('(+,ข)) แล้ว ~iX~i('(+,ข)) และ ~iY~i('(+,ข)) สมสัณฐานอันดับกัน และ ถ้า ~iI(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข))(+,...)~iI(RE)~i(~iY,Y~i('(+,ข))แล้ว ~iX~i('(+,ข)) และ ~iY~i('(+,ข)) สมสัณฐานอันดับกัน โดยเฉพาะ ~iP(RE)~i(~iX~i)(+,...) ~iP(,RE)~i(~iY~i) ก็ต่อเมื่อ ~iX~i และ ~iY~i สมสัณฐานอันดับกัน และในทำนองเดียวกัน ~II(,RE)~i(~iX~i)(+,...)~iI(,RE)~i(~iY~i) ก็ต่อเมื่อ ~iX~i และ ~iY~iสมสัณฐานอันดับกัน สำหรับเซตอันดับทุกส่วน ~iX~i และ ~iY~i ถ้า ~iT(,RE)~i(~iX,X~i('(+,ข))(+,...)~iT(,RE)~i(~iY,Y~i('(+,ข)) แล้ว ~iX~i('(+,ข)) และ ~iY~i('(+,ข))สมสัณฐานอันดับกัน จะเห็นว่าทฤษฎีบทสมสัณฐานทฤษฎีบทหลังที่ได้นี้ขยายทฤษฎีบทสมสัณฐานของอูมาร์