พลังงานเสรีและฟังชันก์แบ่งส่วนของระบบของอนุภาคตัวหนึ่งที่รวมศักย์จุดอานม้าในสนามแม่เหล็กสามารถคำนวณได้อย่างแม่นตรงโดยใช้วิธีอินทิเกรตตามวิถีของฟายน์แมน วิธีนี้ใช้แก้ปัญหากรณีอนุภาคในสนามแม่เหล็กที่รวมศักย์แบบนอนโลคอลโดย Sa-yakanit, Choosiri และRibkob (Phys. Rev. B. 37, 1998) แนวคิดหลักที่คำนวณคือ ตัวแผ่กระจายด้วยแอกชัน S = (...) L dt โดย L คือลากรานเจียน L = (m/2)(x('2) + y('2) + (...)(xy - yx) - ((...)('2)(,x)x('2) - (...)('2)(,y)y('2)))(...) คือ ความถี่ไซโคลตรอน และ (...)(,x) และ (...)(,y)คือ ความถี่ของศักย์จุดอานม้า การแปรผันของแอกชันทำให้ได้สมการการเคลื่อนที่คู่ควบสองสมการและเมื่อแก้ปัญหาจะได้แอกชันคลาสซิก S(,cl) ใช้สูตร แวน แฟล็ก-เพาลี เพื่อหาค่าพรีแฟกเตอร์ F(...) ได้ตัวแผ่กระจายของระบบเป็นK(r(,b), r(,a)

(...)) = F(...)exp(iS(,cl)/h)ผลลัพธ์ที่ได้นี้สามารถลดทอนในกรณีลิมิตต่าง ๆ เช่น กรณีสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ (...)=0 ตัวแผ่กระจายถูกลดทอนเป็นผลคูณของออสซิลเลเตอร์สองตัว ตัวที่หนึ่งเป็นศักย์ทั่วไปและตัวที่สองเป็นศักย์ผกผัน และสำหรับกรณีศักย์จุดอานม้าเป็นศูนย์ ตัวแผ่กระจายจะถูกลดทอนเป็นตัวแผ่กระจายในสนามแม่เหล็ก เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างตัวแผ่กระจายและเมทริกซ์ความหนาแน่นได้ฟังก์ชันแบ่งส่วนของระบบโดยการหาเทรซของเมทริกซ์ความหนาแน่น พลังงานเสรีหาได้จากF = - Beta('-1) lnZ ได้แสดงผลการคำนวณของพลังงานเสรีในกรณีลิมิตต่าง ๆ และแสดงด้วยรูปกราฟ