สำหรับแต่ละ unary operation f บนเซตจำกัด A ซึ่ง = k จะมีโซ่ลดลง A Im f Im f2 . . . Im fm = Im fm+1 โดยเรียกจำนวนเต็มบวกตัวน้อยสุด (f ) ที่ทำให้ = ว่า pre-period ของ f และ pre-period ของ f มีค่าจาก 0 ถึง k – 1 ถ้า (f) = k – 1 เมื่อ k 1 เราเรียก f ว่า long-tailed (LT)-operation และถ้า (f ) = k – 2 เมื่อ k 2 เราเรียก f ว่า (LT1)-operation ได้มีการจำแนก Unary (LT)- และ (LT1)-operations ตลอดจนบรรยาย equivalence relations ทั้งหมดซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ f ในโครงการวิจัยนี้ เราศึกษา ให้นิยามและจำแนก n-ary operations สำหรับทุกๆ n > 1 ซึ่งเป็นทั้ง (LT)- และ (LT1)-operations รวมถึงบรรยาย invariant equivalence relations ทั้งหมดซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ f ผลการศึกษาเหล่านี้สามารถประยุกต์กับสาขาวิชาอื่นๆ ที่ดำเนินการศึกษาด้วยวิธี iteration และ recursion นอกจากนี้ยังจำแนก unary operations บนเซตจำกัดทั้งหมดซึ่ง (f ) = k – t สำหรับทุกๆ 1  t  n – 1 และให้รายละเอียดเกี่ยวกับ equivalence relations บนเซตจำกัดซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ unary operations เหล่านี้ เราใช้สัญลักษณ์ f : A A แทน partial unary operation ซึ่งนิยามบน A ถ้า f เป็น partial unary operation เราแทนโดเมนของ f ด้วย dom f และให้ Im f = แทนเซตส่วนฉายของ f และถ้า f เป็น proper partial operation บน A ที่ไม่สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งบน dom f แล้ว > และมีจำนวนเต็มบวกตัวน้อยสุด (f ) ที่ทำให้ = ในโครงการวิจัยนี้เราศึกษาเพื่อจำแนก partial unary operations ที่มี (f ) = k และ (f ) = k – 1 และในทั้งสองกรณีเราบรรยาย equivalence relations บน A ทั้งหมดซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ f ผลงานเหล่านี้เป็นการวางนัยทั่วไปของกรณี total unary operations เราอาจศึกษา algebraic structure ของ Clone ได้หลายแบบ และเพราะเราอาจนิยาม(n+1)-ary operation บน On(A) โดย Sn(f,g1,...,gn)(a1,…,an) := f(g1(a1,…,an),...,gn(a1,…,an)) สำหรับทุกๆ n-ary operations f, g1,...,gnบน A และ a1,…,an A จึงได้นิยาม binary operation + บน On(A) โดย f + g := Sn(f,g1,...,gn) ที่ทำให้ (On(A); +) เป็น semigroup สำหรับโครงการวิจัยนี้ แทนที่จะศึกษา clone บนเซตจำกัดใดๆ ซึ่งเป็นโครงสร้างที่ซับซ้อนและยุ่งยาก เราศึกษา semigroups ของ n-ary operations ซึ่งเป็น subsemigroups ของ (On(A); +) และศึกษาสมบัติของ semigroup เหล่านี้แทน ตลอดจนศึกษา Green’s relations และจำแนก constant subsemigroups, rectangular bands และ normal bands ใน (On(A); +) Iterating a unary operation f defined on a finite set A with = k, one obtains the descending chain A Im f Im f2 . . . Im fm = Im fm+1. The least integer (f ) with = is called the pre-period of f . The pre-period of f is an integer between 0 and k – 1. If (f ) = k – 1 and k 1, then f is called a long-tailed (LT)-operation and if (f ) = k – 2 for k 2, f is said to be an (LT1)-operation. Unary (LT)- and (LT1) - operations and their invariant equivalence relations have been characterized. In the project, we consider the iteration of n-ary operations for n > 1, define and characterize (LT)- and (LT1) - operations and their invariant equivalence relations. The results can be applied in all fields where iteration and recursion plays a role. We denote a partial unary operation f defined on A by f : A A and denote the domain of f by dom f and also let Im f = be the image of f. If f : A A is a proper partial operation on A which is not bijective on its domain, then > and there is a least integer (f) with = . In the project, we characterize partial unary operations with (f ) = k and (f ) = k – 1. In both cases, we describe the equivalence relations on A which are invariant with respect to such partial unary operations. This generalizes similar results for total unary operations. There are several ways to regard a clone as an algebraic structure. If f, g1,...,gnare n-ary operations defined on A, by Sn(f,g1,...,gn)(a1,…,an) := f(g1(a1,…,an),...,gn(a1,…,an)) for all a1,…,an A an (n+1)-ary operation on the set On(A) of all n-ary operations can be defined; and one can derive a binary operation + defined by f+g := Sn(f,g1,...,gn) and obtains a semigroup (On(A); +). The collection of all clones of operations on a finite set forms a complete lattice. This lattice is well-described if = 2. If > 2 , this lattice is uncountably infinite and very complex. In the project, instead of clones we study semigroups of n-ary operations, i.e. subsemigroups of the semigroup (On(A); +) and their properties. We consider Green’s relations for the semigroup (On(A); +), characterize all constant subsemigroups of (On(A); +), all semilattices, rectangular bands and normal bands contained in (On(A); +).