วิทยานิพนธ์นี้เกี่ยวข้องกับสมบัติสองประการของฟังก์ชันแลขคณิต คือการแยกตัวประกอบ และความเป็นอิสระต่อกัน ในปี 1984 เรียริคได้แสดงให้เห็นว่าริงของฟังก์ชันเลขคณิตเป็นโดเมนที่มีการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว แต่ไม่เป็นโดเมนไอดีลมุขสำคัญ จึงไม่เป็นโดเมนแบบยุคลิดเมื่อไม่สามารถใช้ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดได้ การแยกตัวประกอบของฟังก์ชันเลขคณิตจึงเป็นเรื่องยาก ในส่วนแรกของวิทยานิพนธ์นี้เราเสนอเทคนิคการแยกตัวประกอบของฟังก์ชันเลขคณิตบางประเภทและพิสูจน์ผลเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบโดยใช้นอร์มของฟังก์ชันเลขคณิตเลขคณิตเหล่านั้นเป็นหลัก เทคนิคเหล่านี้เป็นการขยายงานของเรียริคซึ่งเกี่ยวกับการหาผลเฉลยของระบบสมการอนุพันธ์เชิงเส้นซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามในฟังก์ชันที่ต้องการแยกตัวประกอบ ผลเฉลยของระบบสมการนี้พิสูจน์ได้ว่าเป็นตัวประกอบที่ต้องการซึ่งเรียงตามนอร์มที่เพิ่มขึ้น ในที่นี้เราได้ให้ตัวอย่างที่แสดงการใช้เทคนิคเหล่านี้ด้วย ในปี 1986 ชาปีโรและสแปเรอ พิสูจน์ผลจำนวนมากเกี่ยวกับความเป็นอิสระต่อกันเชิงพีชคณิตของอนุกรม ดีริชเลต์ เนื่องจากริงของอนุกรมดีริชเลต์สมสัณฐานกับริงของฟังก์ชันเลขคณิต ดังนั้นการศึกษาในโครงสร้างหนึ่งจะสมมูลกับในอีกโครงสร้างหนึ่งการศึกษาของชาปีโรและสแปเรอเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทที่ว่าอนุกรม ดีริชเลต์จะเป็นอิสระต่อกันเชิงพีชคณิตถ้าจาโคเบียนของอนุกรมเหล่านั้นไม่เป็นศูนย์ เมื่อพิจารณาฟังก์ชันซีตาเป็นหลัก พบว่า อนุกรมดีริชเลต์ที่ไม่เป็นอิสระเชิงพีชคณิตต่อฟังก์ชันซีตาจะเขียนได้ในรูปอนุกรมกำลังในลอการิทึมของฟังก์ชันซีตา และได้ผลเกี่ยวกับความไม่เป็นอิสระต่อกันเชิงพีชคณิตของอนุกรมดีริชเลต์ตามมา ชาปีโรและสแปเรอยังได้ศึกษาผลในทำนองเดียวกัน สำหรับอนุกรมดีริชเลต์ในรูปนัยทั่วไปด้วย ในส่วนที่สองของวิทยานิพนธ์นี้ได้ขยายผลบางอย่างของชาปีโรและสแปเรอหรือทำให้ง่ายขึ้น ซึ่งรวมถึงการแทนที่ฟังก์ชันซีตาด้วยอนุกรมดีริชเลต์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันการคูณบริบูรณ์ แล้วให้การกระจายในอนุกรมลอการิทึมเช่นกัน การไม่เป็นอิสระต่อกันของอนุกรมที่มีเซตค้ำจุนเป็นเซตอนันต์และการไม่เป็นอิสระต่อกันของฟังก์ชันที่ไม่เป็นยูนิทซึ่งนอร์มเฉพาะสัมพัทธ์ต่อกัน