จุดประสงค์หลักของงานวิจัยนี้มี 2 ประการ ในทิศทางหนึ่งเราศึกษารูปแบบที่ไม่ แปรเปลี่ยนภายใต้การหมุนของการแปลงซีกัล – บาร์กมันน์ เราพิจารณาปริภูมิย่อยของปริภูมิ ซีกัล – บาร์กมันน์ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การกระทำของกรุปเชิงตั้งฉากพิเศษ เราได้ขอบเขต รายจุดของฟังก์ชันในปริภูมินี้ซึ่งดีกว่าขอบเขตรายจุดของฟังก์ชันในปริภูมิซีกัล – บาร์กมันน์ เป็นอันดับพหุนาม ในอีกทิศทางหนึ่ง เราพัฒนาเรขาคณิตไม่สลับที่เชิงแคทีกอรีต่อเนื่องจากที่ได้เริ่มต้นไว้ ในบทความวิจัย [BCL1] โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราได้ผลต่อไปนี้ 1. เราได้ทฤษฎีบทภาวะคู่กันของเกลฟานด์แบบแคทีกอรีซึ่งเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบท ภาวะคู่กันของเกลฟานด์แบบปกติสำหรับแคทีกอรีของพีชคณิตซีสตาร์สลับที่ที่มีเอกลักษณ์และ แคทีกอรีของปริภูมิกระชับเฮาส์ดอฟฟ์ 2. เพื่อเป็นขั้นแรกที่นำไปสู่ทฤษฎีสมมูลแซร์ – สวอนยืนยงคู่ เราพัฒนาทฤษฎีบท สเปกตรัมสำหรับฮิลเบิร์ตซีสตาร์ไบมอดูลไม่ปฐมฐานเหนือซีสตาร์สลับที่ที่มีเอกลักษณ์ในรูปของ เฮอร์มิเชียนไลน์บันเดิลเหนือกราฟของสมานสัณฐานระหว่างเกลฟานด์สเปกตรัมกระชับเฮาส์ ดอฟฟ์ของสองพีชคณิตซีสตาร์ 3. เรานำเสนอแนวคิดของสัณฐานอิงระยะทางสำหรับสเปกตรัลทริเปิลของอลัน คอนน์ส เราพิสูจน์ภาวะคู่กันระหว่างแคทีกอรีของสมมิติของแมนิโฟลด์แบบสปินกระชับเชิงรีมันน์และแค ทีกอรีของสัณฐานอิงระยะทาง และศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างแคทีกอรีอิงระยะทางและแคที กอรีของสเปกตรัลทริเปิลที่ได้นิยามไว้ใน [BCL1] The main objectives of this project are two folds. In one direction, we study a rotation-invariant form of the Segal-Bargmann transform. We consider the subspace of Segal-Bargmann space which is invariant under the action of the special orthogonal group. We establish a pointwise bound for a function in this space which is polynomially better than the pointwise bound for a function in the Segal-Bargmann space. In the other direction, we continue to develop the categorical non-commutative geometry that was initiated in [BCL1]. More specifically: 1. we obtain a categorical version of Gel’fand duality theorem that generalizes the usual Gel’fand’s duality theorem for the category of commutative unital C*-algebras and the category of compact Hausdorff spaces; 2. as a first step toward a bivariant Serre-Swan equivalence theory, we develop a spectral theorem for imprimitivity Hilbert C*-bimodules over commutative unital C*- algebras, in terms of Hermitian line bundles over the graph of a homeomorphism between the compact Hausdorff Gel’fand spectra of the two C*-algebras; 3. as the first effort in the direction of the construction of a full theory of morphisms of spectral geometries, we introduce a notion of metric morphism for A. Connes’ spectral triples; we prove a duality between the category of isometries of compact Riemannian spin manifolds and the category of metric morphisms and we study the relationship between the metric category and the category of spectral triples already introduced in [BCL1].