ความเป็นอิสระเชิงเส้น คือ แนวคิดที่ขยายแนวคิดของความเป็นตรรกยะให้เป็นนามธรรมในทำนองเดียวกัน ความเป็นอิสระเชิงพีชคณิต คือ แนวคิดที่ขยายแนวคิดว่าด้วยความเป็นอดิศัยให้เป็นนามธรรม เป็นที่ทราบกันดีว่า จำนวนจริงแต่ละจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเชิงเดียวเมื่อผสมผสาน แนวคิดว่าด้วยความเป็นอิสระกับการสร้างตัวแทน จะได้โจทย์ปัญหาว่าด้วยการจำแนกลักษณะของสมาชิกโดยผ่านทางตัวแทน วิทยานิพนธ์ฉบับนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดทั้งสอง กล่าวคือ การแทนสมาชิกด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง และความเป็นอิสระของเศษส่วนต่อเนื่องในสนามของอนุกรม Laurent เหนือสนามจำกัด ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนาม สนามฟังก์ชัน ส่วนสำคัญของวิทยานิพนธ์ฉบับนี้ คือ การสร้าง และการพิสูจน์เกณฑ์สองประเภท ประเภทแรกเพื่อใช้ในการตรวจสอบความเป็นอิสระเชิงเส้น เกณฑ์ประเภทที่สองสำหรับตรวจสอบความเป็นอิสระเชิงพีชคณิต และการคำนวณตัวอย่างที่น่าสนเท่ห์เชิงวิเคราะห์ เกณฑ์การตรวจสอบความเป็นอิสระเชิงเส้นที่ได้รับ กล่าวโดยย่อว่า ถ้าผลหารย่อยของเศษส่วนต่อเนื่อง มีอัตราการโตที่เร็วมากพอ แล้วเศษส่วนต่อเนื่องเหล่านี้จะเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน เกณฑ์ดังกล่าวนี้เมื่อประยุกต์ใช้กับกรณีของจำนวนจริงจะครอบคลุมผลงานของ Hancl ที่ได้ทำไว้ในปี 2002 ส่วนการตรวจสอบความเป็นอิสระเชิงพีชคณิต ได้พบและพิสูจน์เงื่อนไขที่เพียงพอแบบ Liouville สำหรับความเป็นอิสระเชิงพีชคณิตที่สร้างจากการประมาณเชิงตรรกยะเงื่อนไขดังกล่าว เมื่อประยุกต์ใช้กับเศษส่วนต่อเนื่อง จะให้เกณฑ์ที่กล่าวว่า ผลหารย่อยที่เติบโตอย่างรวดเร็วแบบชี้กำลังจะก่อให้เกิดความเป็นอิสระเชิงพีชคณิต ในส่วนของตัวอย่าง ได้ทำการคำนวณเศษส่วนต่อเนื่องแจ้งชัดที่น่าสนใจอย่างยิ่งสองจำพวก ตัวอย่างดังกล่าวชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนถึงประสิทธิภาพของเกณฑ์ที่ได้รับข้างต้น