ให้ ~iR~i เป็นริง สำหรับ ~iA, B~i ซึ่งเป็นเซตย่อยไม่ว่างของ ~iR~i ให้ ~iAB~iแทนเซตของผลบวกอันตะทั้งหมดที่อยู่ในรูปแบบ (+,S) ~ia,b,~iโดยที่!I a,(+,ฮ)A~iและ ~ib,(+,ฮ)B~i จะเรียกริงย่อย ~iQ~i ของ ~iR~i ว่า ~iควอซี-ไอเดียล~i ของ~iR~i ถ้า ~iRQ~i (+,ว) ~iQR~i(+,อ) ~iQ~i เป็นที่รู้กันว่า ส่วนร่วมของไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวาของ ~iR~i เป็นควอซี-ไอเดียล แต่ควอซี-ไอเดียลของ ~iR~i ไม่จำเป็นต้องมีสมบัติเช่นนี้ จะเรียกริง ~iR~i ว่า ~iมีสมบัติส่วนร่วมของควอซี-ไอเดียล~iถ้าทุกควอซี-ไอเดียลของ ~iR~i เป็นส่วนร่วมของไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวาของ ~iR~i ต่อจากนี้ไป ให้ ~iR~i เป็นริงการหาร และ ~im~i และ ~in~i เป็นจำนวนเต็มบวกให้ ~iM(,m.n)( R )~i แทนเซตของเมทริกซ์ขนาด ~im x n~i บน ~iR~i ทั้งหมด สำหรับ~iP (+,ฮ) M(,n.m)(R)~i ให้ (M(,m.n)(R),+,P)~i เป็นริง ~iM(,m.n)(R)~iภายใต้การบวกปกติ และการคูณ * ซึ่งนิยามโดย ~iA * B~i = ~iAPB~i สำหรับทุก~iA, B(+,ฮ) M(,m.n)(R) ให้ M(,n.n)(R) = M(,n)(R)~i และ SU(,n)(R) แทนเซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนโดยแท้ใน M(,n)(R) ทั้งหมด สำหรับ ~iP~i ที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนขนาด~in x n~i บน ~iR~i นิยาม ~i(SU(,n)(R), +,P)~iในทำนองเดียวกัน ผลสำคัญของการวิจัยมีดังนี้~bทฤษฎีบท 1~b สำหรับ ~iP (+,ฮ) M(,n.m)(R)~i ริง ~i(M(,m.n)(R),+,P) มีสมบัติส่วนร่วมของควอซี-ไอเดียล ก็ต่อเมื่อ ไม่ ~iP~i = 0 ก็ค่าลำดับชั้น ~i(P)~i= ค่าน้อยสุด~i{m,n}~i~bบทแทรก 2~b สำหรับ ~iP (+,ฮ)M(,n)(R)~i ริง ~i(M(,n)(R),+,P)~i มีสมบัติส่วนร่วมของควอซี-ไอเดียล ก็ต่อเมื่อ ไม่ ~iP~i = 0 ก็ ~iP~i เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้~bทฤษฎีบท 3~b สำหรับ ~iP~i ที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนขนาด ~in x n~i บน ~iR~iริง ~i(SU(,n)(R),+,P)~i มีสมบัติส่วนร่วมของควอซี-ไอเดียลก็ต่อเมื่อหนึ่งในข้อความต่อไปนี้เป็นจริง (i) ~in~i (+,ฃ) 3 (ii) ~in~i = 4 และ ~iP(,22)~i= 0 หรือ P(,33) = 0 (iii) ~in~i > 4, ~iP(,ij)~i = 0 สำหรับทุก ~ii,j~i (+,ฮ){3,4..,~in~i-2} และ (a) ~iP(,2j)~i = 0 สำหรับทุก ~ij~i (+,ฮ) { 2,3,..., ~in~i-2}หรือ (b) ~iP(,i.n-1)~i = 0 สำหรับทุก ~ii (+,ฮ) { 3, 4, ..., ~in~i-1}