งานวิจัยนี้ มีจุดประสงค์เพื่อพิจารณาทฤษฎีการอินทีเกรตตามวิถีแบบแปรผันในการอธิบายระบบอิเล็กตรอนที่มีอันตรกิริยากับสารแปลกปลอมที่มีการกระจายตัวแบบสุ่ม โดยพิจารณาทัง้ ในระบบสองมิติและสามมิติ เป้าหมายที่สาคัญคือการหาสมการเชิงวิเคราะห์ ดังนั้นเราจึงเลือกแบบจา ลองอันตรกิริยาอย่างง่ายได้แก่ อันตรกิริยาแบบเกาส์ และแบบคูลอมบ์ที่มีการขวางกัน้ ผู้วิจัยพบว่า ในระบบได้แบ่งออกเป็นสองขอบเขต คือขอบเขตที่อิเล็กตรอนมีอันตรกิริยาอย่างเข้มกับสารแปลกปลอม กับขอบเขตที่อิเล็กตรอนมีอันตรกิริยาอย่างอ่อน ในขอบเขตอย่างอ่อน อิเล็กตรอนจะประพฤติตัวเหมือนอนุภาคอิสระ มีฟัง ก์ชันคลื่นเป็นคลื่นระนาบอย่างเช่นที่เกิดในแถบตัวนา แต่ในขอบเขตอย่างเข้ม อิเล็กตรอนจะถูกกักขังและอยู่ในสถานะที่เรียกว่า แถบพลังงานสารแปลกปลอม ผลจากการทดลองโฟโต้ลูมิเนสเซนส์ พบว่ามีแถบพลังงานทัง้ สองอยู่จริงในสารกึ่งตัวนา Si:P ในงานวิจัยนี้ ผู้วิจัยจะใช้ทฤษฎีอินทีเกรตตามวิถีในการอธิบายผลการทดลองเหล่านี้ รวมไปถึงการคานวณความหนาแน่นสถานะ และสภาพเคลื่อนที่ได้ของพาหะนาไฟฟ้าด้วย โดยผู้วิจัยนาผลทางทฤษฎีไปอธิบายผลการทดลองในสารกึ่งตัวนา ได้แก่ Si/SiGe MgZnO/ZnO และ AlAs/GaAs พบว่าผลที่ได้มีความสอดคล้องกัน อย่างมาก