เรากล่าวว่าเซมิกรูป ~iS ให้โครงสร้างไฮเปอร์ริง~i ถ้ามีไฮเปอร์โอเปอเรชัน +บน ~iS~i('0) ที่ทำให้ (~iS~i('0),+,.) เป็น (คราสเนอร์)ไฮเปอร์ริง โดยที่ . เป็นโอเปอเรชันของ ~iS~i('0) สำหรับเซมิกรุป ~iS~i และ (+,q)(+,ฮ)~iS~i('1) ให้(~iS~i,(+,q) เป็นเซมิกรุป ~iS~i ภายใต้โอเปอเรชัน *กำหนดโดย ~ix~i*~iy~i=~ix(+,q)~iy~i สำหรับทุก ~ix,y~i (+,ฮ) ~iS~i เราให้ ~iT(X) แทนเซมิกรูปการแปลงเต็มบนเซต ~iX~i ซึ่งเป็นเซตไม่ว่าง สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ~iV~i บนริงการให้ ให้ ~iL(V)~i เป็นเซมิกรุปของการแปลงเชิงเส้น(+,a): ~iV(+,ฎ)V~i ทั้งหมดภายใต้การประกอบ ในการวิจัยนี้เราให้ลักษณะที่จะบอกว่าเซมิกรุป (~iS~i, (+,q)) โดย (+,q)(+,ฮ)~iS~i('1) ให้โครงสร้างไฮเปอร์ริงเมื่อใด โดยที่ ~iS~i เป็นเซมิกรุปย่อยใด ๆ ของ~iT(X)~i และ ~iL(V)~i ต่อไปนี้ ~iT(X)~i ~iM(X)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iT(X)~i (+,a) หนึ่งต่อหนึ่ง} ~iE(X)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iT(X)~i Im(+,a) = ~iX~i} ~iT(,1)(X)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iT(X)~i Im(+,a) เป็นเซตอันตะ} ~iT(,2)(X)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iT(X)~i ~iX~i Im(+,a) เป็นเซตอันตะ} ~iT(,3)(X)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iT(X)~I (+,a)ไม่หนึ่งต่อหนึ่งที่ ~ix~i} ~iT(,4)(X)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iT(X)~i (+,a) หนึ่งต่อหนึ่งและ ~iX~i Im(+,a) เป็นเซตอนันต์} เมื่อ ~iX~i เป็นเซตอนันต์ ~iT(,5)(X)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iT(X)~i K((+,a)) เป็นเซตอนันต์และ Im(+,a)= ~iX~i} เมื่อ ~iX~i เป็นเซตอนันต์ ~iL(V)~i ~iM(V)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iL(V)~i (+,a) หนึ่งต่อหนึ่ง} ~iE(V)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iL(V)~I Im(+,a) = ~iV~i} ~iL(,1)(V)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iL(V)~i dim Im(+,a) อันตะ} ~iL(,2)(V)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iL(V)~i dim (~iV~i/Im(+,a)) อันตะ} ~iL(,3)(V)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iL(V)~i dim Ker(+,a) อันตะ} ~iL(,4)(V)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iL(V)~i (+,a) หนึ่งต่อหนึ่ง และ dim (~iV~i)/ Im(+,a)) อนันต์} เมื่อ ~iV~i เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มี มิติอนันต์ ~iL(,5)(V)~i = {(+,a) (+,ฮ) ~iL(V)~i dim Ker(+,a) อนันต์ และ Im(+,a)= ~iV~i} เมื่อ ~iV~i เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์