สำหรับเซต X, Y ใด ๆ ให้ (...)(X,Y) = เซตของการส่งจาก X ไปยัง Y ทั้งหมด (...)(X,Y) = เซตของการส่งจากเซตย่อยของ X ไปยัง Y ทั้งหมด (...)(X,Y) = เซตของการส่งหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตย่อยของ Xไปยัง Y ทั้งหมดถ้า (...)(X,Y) เป็นเซตใดเซตหนึ่งของเซต (...)(X,Y), (...)(X,Y) หรือ(...)T(X,Y) และ (...) (...) (...)(Y,X) แล้วจะให้ ((...)(X,Y),(...))แทนเซมิกรุป ((...)(X,Y),*) โดยที่ (...)*(...) = (...) ทุก ๆ(...), (...) (...) (...)(X,Y) ทฤษฎีบทต่อไปนี้คือผลสำคัญของการวิจัยนี้ทฤษฎีบท ให้ X และ Y เป็นเซต (...)(X,Y) แทนเซตใดเซตหนึ่งของเซต(...)(X,Y),(...)(X,Y) หรือ (...)(X,Y) และให้ (...) (...) (...)(Y,X)จะได้ว่า ((...)(X,Y),(...)) มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่น ก็ต่อเมื่อ ทั้งX และ Y เป็นเซตอนันต์ และ (...) = ค่าต่ำสุดของเซต {(...)}เมื่อ (...) เป็นเรจน์ของ (...) ถ้า X และ Y เป็นเซตอนันต์ และ (...) = ค่าต่ำสุดของเซต {(...)}แล้วข้อความต่อไปนี้เป็นจริง (1) สมมติว่า A เป็น เซตย่อยอนันต์ของ (...) โดยที่ (...) = (...) และสำหรับ a (...) A เลือก Y(,a) (...) a(...)('-1) จะได้ว่า เซต U ซึ่งถูกนิยามโดย U = {(...) (...) (...)(X,Y) (...) เป็นเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่นของ ((...)(X,Y),(...)) (2) ((...)(X,Y),(...)) มีเซมิกรุปแท้ที่หน้าแน่นจำนวนอนันต์ และ คาร์ดินาลีดีของกลุ่มของเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่นเช่นนั้น ไม่น้อยกว่าค่าต่ำสุดของเซต {(...)}