วิทยานิพนธ์ฉบับนี้ เป็นการนำเอาประโยชน์ของกลุ่ม วิเคราะห์ไปใช้กับสมการสามคลื่นในออพติกส์ไม่เชิงเส้น ซึ่งสมการเหล่านี้ได้มาจากปรากฎการณ์จริงของ 2 ลำแสง หลักที่มีความถี่เหมือนกัน แต่มีโพลาไรเซซันต่างกัน ส่องผ่าน ตัวกลางนอนลิเนียร์ ผลที่ได้นี้จะเกิดเป็นลำแสงที่ 3 ซึ่งมี ความถี่เป็นเซ็คกันฮาร์โมนิก (Second harmonic) จากความสัมพันธ์ของสนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็ก ซึ่งแสดงในรูปของสมการแมกซเวลล์ (Maxwells equations) นำมาสร้างเป็นสมการ ที่เรียกว่าสมการสามคลื่น การประยุกต์กลุ่มวิเคราะห์กับสมการอนุพันธ์ย่อย เริ่มจาก การหากลุ่มแอดมิตเตด (Admitted group) ซึ่งในสมการ สามคลื่นมี 11 กลุ่มพารามิเตอร์ สำหรับการสร้างผลเฉลย ยืนยงนั้นจำเป็นที่จะต้องทำการจำแนกกลุ่มแอดมิตเตด การจำแนก ของกลุ่มแอดมิตเตดจะสมนัยกับการจำแนกพีชคณิตย่อยของพีชคณิต ~iL~i(,11) จุดประสงค์ของ วิทยานิพนธ์ฉบับนี้ คือการสร้าง พีชคณิตย่อยทั้งหมด ของกลุ่มหลักของกลุ่มแอดมิตเตด ~iL~i(,11) ที่สามารถหาผลเฉลยยืนยงได้ ในการสร้างระบบออพติมอล (Optimal system) สามารถทำได้ง่าย สำหรับพีชคณิตที่มี ขนาดน้อย เนื่องจากพีชคณิตแอดมิตเตดของสมการสามคลื่น มีขนาดเท่ากับ 11 ดังนั้นการสร้างระบบออพติมอลจึงเริ่มจาก พีชคณิตที่มีขนาดน้อย ผลที่ได้คือพีชคณิตย่อยทั้งหมดใน 3 มิติ ของพีชคณิต ~iL~i(,11) (Subalgebra), ผลเฉลยยืนยง ที่สอดคล้องกับ บางพีชคณิตย่อยของพีชคณิต ~iL~i(,11) และใช้วิธีการของรุนแรง คุตตา (Runge-Kutta method) กับระบบสมการที่ลดรูป