วัตถุประสงค์ได้แก่การหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันนัลของการประมาณสืบเนื่อง, ฟังก์ชันนิวตัน และฟังก์ชันฮัลเลย์ การหาความสัมพันธ์เชิงพลศาสตร์ของการประมาณสืบเนื่อง, ฟังก์ชันนิวตัน และฟังก์ชันฮัลเลย์ และการหาคำตอบเชิงตัวเลขเพื่อทดสอบผลเชิงทฤษฎีที่ได้ โดยมีวิธีการวิจัยดังนี้รวบรวมเอกสารที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยเพิ่มเติม ศึกษาเอกสารเพื่อหา เทคนิคและหัวข้อวิจัยใหม่ๆที่เกี่ยวข้อง ทำวิจัยเพื่อให้ได้ผลเชิงทฤษฎีใหม่ๆ เสนอผลงานเพื่อ การตีพิมพ์ในวารสารวิชาการระดับนานาชาติ และสรุปผลและจัดทำรายงานฉบับสมบูรณ์ผลการ วิจัยที่ได้รับคือได้ความสัมพันธ์ใหม่ๆ ระหว่างฟังก์ชันฮัลเลย์, ฟังก์ชันนิวตัน, และฟังก์ชันการ ประมาณสืบเนื่อง ของฟังก์ชันพหุนาม ได้ลักษณะการควบคุมการลู่เข้าของรากของฟังก์ชันคอม โพสิตระหว่างฟังก์ชันฮัลเลย์และฟังก์ชันนิวตัน โดยอนุพันธ์ชวาเชียน และได้คำตอบที่เป็น ฟังก์ชันตรรกยะของสมการเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันฮัลเลย์, ฟังก์ชันนิวตัน, และ ฟังก์ชันการประมาณสืบเนื่อง ผลการวิจัยที่ได้สามารถนำไปใช้ในการหารากของฟังก์ชันพหุนามที่มีดีกรีเป็นสอง โดย ได้อัตราการลู่เข้าตามที่เราต้องการ และมีค่าความถูกต้องสูง อีกทั้งยังได้ความสัมพันธ์ในเชิง ทฤษฎีของ ฟังก์ชันฮัลเลย์, ฟังก์ชันนิวตัน, และฟังก์ชันการประมาณสืบเนื่อง โดยผลที่ได้มีทั้งใน ส่วนที่ขยายผลจากงานวิจัยของ Prof.Dr.Julian Palmore และ ทั้งส่วนที่คิดใหม่ทั้งหมด ซึ่งควร มีการศึกษาผลที่ได้กับฟังก์ชันพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าสองขึ้นไป Objectives compose of 1. to find functional relations for Newton’s functions, Successive approximations and Halley’s functions, 2. to find dynamical relations for Newton’s functions, Successive approximations and Halley’s functions and 3. to obtain numerical results to verify results in 1 and 2. By using these Methodology: Collect related papers and books, study in details materials to obtain new topics and techniques, do research to obtain new results, submit papers for publications in international journals, and conclude and submit the final reports. It was obtained some new relations between Newton’s functions, Successive approximations and Halley’s functions for quadratic polynomials, the roll of Schwarzian derivative in controlling the rate of convergence of the composition of Halley’s functions and Newton’s functions, and rational solutions for certain functional equations related to Newton’s functions, Successive approximations and Halley’s functions. The results obtained in this research can be used in finding roots of quadratic polynomials with our desired of the order of convergence and accuracy. Moreover, we obtain new results on rational solutions of certain functional equations. Some of our results extended results obtained by Prof.Dr.Julian Palmore and some results are truly new. Further Implication is to study similar results obtained to higher degree polynomials