วัตถุประสงค์ในการศึกษานี้คือการคำนวณหาค่าพลังงานชั้นพื้นฐานของอนุภาค โพลารอนโดยการทำซ้ำของสมการปฏิยานุพันธ์ขึ้นกับตัวเอง ปัญหาสมการปฏิยานุพันธ์นี้ Feynman ได้เสนอไว้ในปัญหาของโพลารอน ในวิทยานิพนธ์นี้เราศึกษาและพัฒนาเทคนิคเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพ สำหรับการ แก้ปัญหาสมการปฏิยานุพันธ์ซึ่งได้พัฒนามาจากวิธี adaptive Simpsons method แบบ ดั้งเดิม และจากการศึกษาครั้งนี้ทำให้เราพบเทคนิคใหม่ที่เหมาะสมกับสมการปฏิยานุพันธ์ ที่มีความกวัดแกว่งของฟังก์ชันมาก นอกจากนี้นเราได้เปรียบเทียบระหว่างผลของการประมาณ เชิงตัวเลขที่เราพัฒนาขึ้นมากับวิธีดั้งเดิมและสามารถสรุปได้ว่าวิธี modified adaptive simpsons method เป็นวิธีที่เหมาะสมกับปัญหาของค่าพลังงานชั้นพื้นฐานของอนุภาคโพลารอน มากกว่าวิธีการประมาณแบบดั้งเดิม ดังนั้นเราจึงเลือกที่จะใช้เทคนิคใหม่คือ modified adaptive Simpsons method ที่ได้จาก การพัฒนาวิธี adaptive Simpsons method แบบดั้งเดิม เพื่อประมาณค่าพลังงานชั้นพื้นฐานของอนุภาคโพลารอน จากการวิจัยครั้งนี้พบว่าการใช้วิธี modified adaptive Simpsons method ให้ค่าพลังงานชั้นพื้นฐานของอนุภาคโพลารอนมีผลสอดคล้องกับผลที่ได้จากวิธี trial action ในรูปแบบของอนุกรมของ non-local harmonic oscillators นอกจากนั้นเรายังพบ อีกว่าเทคนิคใหม่นี้ให้ค่าพลังงานที่ไม่สอดคล้องกับวิธีการหาค่าพลังงานชั้นพื้นฐานโดย วิธีการแก้ระบบสมการปฏิยานุพันธ์โดยตรงซึ่งได้กระทำมาก่อนหน้านี้