งานวิจัยนี้แบ่งออกเป็น 2 ส่วน ส่วนแรกเรา พิจารณาความสัมพันธ์สมมูล p บนริง S เพราะว่า p เป็น สับเซตของริง S x S เราได้ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิต บางประการของ P และพบว่าข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน(ก) p ปิดภายใต้การบวกและการคูณใน S x S(ข) p เป็นสับริงของ S x S(ค) p เป็นสับโมดูลของ S x S ภายใต้การคูณ แบบสกาลาร์(ง) p (...) (...)(,S) เรายังแสดงว่าในกรณีที่ P เป็นสับริงของ S x S ซึ่ง ได้ผลดังนี้คือ P เป็นไอเดียลของ S x S ก็ต่อเมื่อ S(2) (...) [O](,P) เมื่อ S(2)= {ab l a,b (...) S} ในส่วนที่สอง เราพิจารณาความสัมพันธ์สมมูล p บน เนียร์-ริง N ซึ่ง p เป็นสับเซตของเนียร์-ริง N x N เรา แสดงได้ว่าข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน(ก) P ปิดภายใต้การบวกและการคูณใน N x N(ข) P เป็นสับเนียร์-ริง ของ N x N(ค) P (...)(...)(,N)(ง) P เป็นคอนกรูเอนซ์ บน N เราพิสูจน์ในกรณีที่ P เป็นสับเนียร์-ริง ของ N x N ได้ว่า(ก) ถ้า N(2)(...)[O](,P) และ N/[O](,P) เป็นไอเดียลของ NxN(ข) ถ้า N(2)(...)[O](,P) และ [N,N] เป็นสับกรุปของ [O](,P) แล้ว P เป็นไอเดียลของ N x N ท้ายสุด เราได้ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตบางประการ ของความสัมพันธ์คอนกรูเอนซ์ บนเนียร์-ริง ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ สมมูลบน N