เราเรียกเซมิกรุปย่อย ~iQ~i ของเซมิกรุป ~iS~i ว่า ~iควอซี-ไอเดียล~iของ ~iS~i ถ้า ~iSQ~i (+,ว) ~iQS~i (+,อ) ~iQ~i และ ~iไอโอเดียล~iของ ~iS~i หมายถึงเซมิกรุปย่อย ~iB~i ของ ~iS~i ซึ่ง ~iBSB~i(+,อ)~iB~i ควอซี-ไอเดียลเป็นนัยทั่วไปของไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวา และไบ-ไอเดียลให้นัยทั่วไปของควอซี-ไอเดียล แนวคิดของไบ-ไอเดียลและแนวคิดของควอซี-ไอเดียลสำหรับเซมิกรุปแนะนำโดย อาร์ เอ กูด และ ดี อาร์ฮิวส์ ในปี 1952 และ โดย โอ สตีนเฟลด์ ในปี 1956 ตามลำดับ หลังจากนั้นได้มีการศึกษาเรื่องควอซี-ไอเดียลและไบ-ไอเดียล ของเซมิกรุปกันอย่างกว้างขวาง สิ่งที่เราสนใจในการวิจัยนี้คือเซมิกรุปซึ่งมีไบ-ไอเดียลและควอซี-ไอเดียลเป็นสิ่งเดียวกัน และเราเรียกเซมิกรุปเช่นนี้ว่า ~iBQ-เซมิกรุป~i สำหรับเซต ~iX~i และ ~iY~i ให้ ~iP~i(~iX,Y~i) เป็นเซตของการส่ง(+,a):~iA~i (+,ฏ) ~iY~i ทั้งหมด โดยที่ ~iA~i (+,อ) ~iX~i สำหรับ ~i(+,q)~i(+,ฮ)~iP~i(~iY~i, ~iX~i) ให้ (~iP~i(~iX, Y~i), ~i(+,q)~i) แทนเซมิกรุป (~iP~i(~iX, Y~i),*)โดย ~i(+,a)~i * ~i(+,b)~ i=~i(+,a)(+,q)(+,b)~i สำหรับ ~i(+,a), (+,b)~i (+,ฮ)~iP~i(~iX~i Y~i) ทั้งหมด จุดประสงค์แรกของการวิจัยนี้คือให้ลักษณะว่าเซมิกรุปย่อยบางชนิดของ (~iP~i(~iX, Y~i), ~i(+,q)~i) สำหรับ ~i(+,q)~i ที่เจาะจงจะเป็น~iBQ~i-เซมิกรุปเมื่อใดในเทอมของขนาดของ ~iX~i และ ~iY~i สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ~iV~i บนริงการหาร ให้ ~iL~i(~iV~i) เป็นเซมิกรุปภายใต้การประกอบของการแปลงเชิงเส้น ~i(+,a)~i : ~iV~i (+,ฏ) ~iV~i ทั้งหมดเราศึกษาเซมิกรุปย่อยหลากหลายของ ~iL~i(~iV~i) ที่นิยามโดยเคอร์เนลและภาพของการแปลงเชิงเส้น เพื่อจุดประสงค์ที่สอง เราให้ลักษณะว่าเซมิกรุปการแปลงเชิงเส้นเหล่านี้จะเป็น ~iBQ-เซมิกรุปเมื่อใดในเทอมของมิติของ ~iV~i สุดท้ายเราศึกษาเซมิกรุปการแปลงเต็มที่รักษาอันดับ ~iT(,op)(I~i) บนช่วง~iI~i ของจำนวนจริง เราให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ ~iI~i ที่ทำให้~iT(,op)(I~i) เป็น ~iBQ~i-เซมิกรุป