~bกึ่งวง~b คือระบบ (~iS~i, +.) โดยที่ (~iS~i,+) และ (~iS~i,.) เป็นกึ่งกลุ่มและ . แจกแจงบน + ~bวงเสมือน~b หมายถึงกึ่งวง (~iS~i,+,.) ซึ่ง (~iS~i,+) เป็นกลุ่มเราเรียกสมาชิก 0 ของกึ่งวง ~iS~i = (~iS~i,+,.) ว่า ~bศูนย์~b ของ ~iS~i ถ้า~ix~i+0 = 0+~ix~i=~ix~i และ ~ix~i.0=0.~ix~i=0 ทุกสมาชิก ~ix(+,ฮ)S~i~bกึ่งสนามเหมือน~b คือกึ่งวง (~iS~i,+,.) ซึ่งสลับที่ภายใต้การบวก มีศูนย์ 0 และ(~iS~i{0},.) เป็นกลุ่ม สำหรับกึ่งกลุ่ม ~iS~i ให้ ~iS~i('0) เป็น ~iS~i ถ้า ~iS~i มีศูนย์และ ~iS~iมีสมาชิกมากกว่า 1 ตัว มิฉะนั้น ให้ ~iS~i('0) เป็นกึ่งกลุ่ม ~iS~i ที่ผนวกศูนย์ 0เข้าไปด้วย เรากล่าวว่ากึ่งกลุ่ม ~iS~i ~bให้โครงสร้างวงเดือน~b ถ้ามีการดำเนินการ+ บน ~iS~i('0) ที่ทำให้ (~iS~i,+,.) เป็นวงเสมือนเมื่อ . เป็นการดำเนินการบน~iS~i('0) เราให้นิยามของ~bกลุ่มที่ให้โครงสร้างกึ่งสนามเสมือน~bในทำนองเดียวกัน ให้ ~iR~i เป็นวงสลับ ซึ่งมีเอกลักษณ์ 1 (+,น) 0, ~iM(,n)(R)~i เป็นกึ่งกลุ่มของ ~inxn~ เมทริกซ์บน ~iR~i ทั้งหมดภายใต้การคูณและ ~iG(,n)(R)~i เป็นกลุ่มย่อยของ~im(,n)(R)~i ที่ประกอบด้วย ~inxn~i เมทริกซ์บน ~iR~i ที่หาตัวผกผันได้ทั้งหมด ให้~iV~i เป็นปริภูมิเวกเตอร์บนวงการหาร, ~iL(V)~i เป็นกึ่งกลุ่มภายใต้การประกอบของการแปลงเชิงเส้น (+,a) : ~iV~i(+,ฎ)~iV~i ทั้งหมด และ ~iG(V)~i เป็นกลุ่มย่อยของ~iL(V)~i ที่ประกอบด้วยสมสัณฐาน (+,a) : ~iV~i(+,ฎ)~iV~i ทั้งหมด ในการวิจัยนี้เราบอกลักษณะเฉพาะของกึ่งกลุ่มย่อยหลากหลายของ ~iM(,n)(R)~i และ ~iL(V)~i ว่าเมื่อไรกึ่งกลุ่มย่อยเหล่านี้จะให้โครงสร้างของวงเสมือน เราพิจารณากลุ่มย่อยจำนวนมากของ ~iG(,n)(R)~i และ ~iG(V)~i และให้ลักษณะเฉพาะที่บอกว่ากลุ่มย่อยเหล่านี้ให้โครงสร้างของกึ่งสนามเสมือนเมื่อใด