ให้ ~iN~i และ ~iR~i แทนเซตของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด และเซตของจำนวนจริงทั้งหมดตามลำดับ สำหรับ ~in~i (+,ฮ) ~iN~i ให้ (~iZ(,n),) แทนกึ่งกลุ่มของจำนวนเต็มมอดุโล~in~i ภายใต้การคูณ จะกล่าวว่า ~in~i (+,ฮ) ~iN~i เป็น~iจำนวนเต็มกำลังสอง-อิสระ~iถ้า ~in~i ไม่สามารถหารได้ด้วยกำลังสองของจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ให้ ~iS~i เป็นกึ่งกลุ่ม จะเรียกสับเซต ~iQ~i ของ ~iS~i ซึ่งไม่ใช่เซตว่างว่า~iควอซี-ไอดีล~i ของ ~iS~i ถ้า ~iSQ~i (+,ว) ~iQS~i(+,อ) ~iQ~i และเรียกสับเซต ~iB~iของ ~iS~i ซึ่งไม่ใช่เซตว่างว่า ~iไบ-ไอดีล~i ของ ~iS~i ถ้า ~iBS~i('1)~iB~i(+,อ) ~iB~i ไบ-ไอดีลเป็นนัยทั่วไปของควอซี-ไอดีล ให้ ~iBQ~i แทนหมู่ของกึ่งกลุ่มซึ่งเซตของไบ-ไอดีล และควอ ซี-ไอดีล เป็นเซตเดียวกัน สำหรับเซต ~iX~i ใด ๆ ให้ ~iM(,x)~i และ ~iE(,x)~i แทนกึ่งกลุ่มของการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่งของ ~iX~i ทั้งหมด และกึ่งกลุ่มของการแปลงแบบทั่วถึงของ ~iX~i ทั้งหมดตามลำดับ สำหรบช่วง ~iI~i บน ~R~ ซึ่ง(+,ฝ)~iI~i(+,ฝ) > 1 ให้ ~iC(,i) ~iD(,l)~iแทนกึ่งกลุ่มของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดและกึ่งกลุ่มของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จาก~iI~iไป ~iI~i ภายใต้หอพอโลยีปกติบน ~iI~i ทั้งหมด ตามลำดับ ผลสำคัญของการวิจัยมีดังนี้~uทฤษฎีบท 1~u สำหรับกึ่งกลุ่มช่วง ~iS~i บน ~iR~i ภายใต้การคูณ ~iS~i (+,ฮ) ~iBQ~iก็ต่อเมื่อ ~iS~i เป็นหนึ่งในช่วงต่อไปนี้ ~iR~i. {0}. {1}. (0.()) และ [0.())~bทฤษฎีบท 2~b สำหรับกึ่งกลุ่มช่วง ~iS~i บน ~iR~i ภายใต้การบวก ~iS~i (+,ฮ)~iBQ~iก็ต่อเมื่อ ~iS~i = ~iR~i หรือ ~iS~i = {0}~bทฤษฎีบท 3~b สำหรับ ~in~i (+,ฮ) ~iN~i,(~iZ(,n~i))(+,ฮ)~iBQ~i ก็ต่อเมื่อ ~in~i = 4หรือ ~in~i เป็นจำนวนเต็มกำลังสอง -อิสระ~bทฤษฎีบท 4~b สำหรับเซต ~iX~i ใด ๆ, ~iM(,x)~i(+,ฮ)~iBQ~iก็ต่อเมื่อ ~iX~iเป็นเซตจำกัด~bทฤษฎีบท 5~b สำหรับเซต ~iX~i ใด ๆ, ~iE(,x)~i(+,ฮ)~iBQ~i ก็ต่อเมื่อ ~iX~iเป็นเซตจำกัด~bทฤษฎีบท 6~b ~iC(,1)~i(+,ฮ)~iBQ~iสำหรับทุกๆ ช่วง ~iI~iบน ~iR~i ซึ่ง(+,ฝ)~iI~(+,ฝ)>1~bทฤษฎีบท 7~b ~iD(,1)~i(+,ฮ))~iBQ~i สำหรับทุก ๆ ช่วง ~iI~i บน ~iR~iซึ่ง(+,ฝ)~iI~i(+,ฝ)> 1