กำหนดให้ ~iR~i เป็นวงเสมือน เราจะเรียก ~iM~i ว่ามอดูลเสมือนบน ~iR~i ก็ต่อเมื่อ~iM~i เป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการการบวก และมีการกระทำทางซ้าย ~iRxM~i(+ฎ) ~iM~iซึ่งกำหนดโดย ~i(r,m)~i(...)~irm~i มีสมบัติว่า สำหรับทุก ๆ ~ir,s~i (+,ฮ) ~iR~i และ~im,n~i(+,ฮ)~iM~i, (1) ~i(r+s)m~i=~irm~i+~ism~i, (2) ~ir(m+n)~i=~irm~i+~irn~i และ(3) ~i(rs)m~i=~ir(sm)~i เราจะเรียกกลุ่มย่อย ~iN~i ของมอดูลเสมือน ~iM~i บน ~iR~i ว่า มอดูเสมือนย่อยของ~iM~iก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆ ~in~i(+,ฮ~iN~i และ ~ir~i(+,ฮ)~iR~i จะได้ ~irn~i(+,ฮ)~iN~iและจะเรียก ~iN~i ว่ามอดูลเสมือนย่อยปกติ ก็ต่อเมื่อ ~iN~i เป็นมอดูลเสมือนย่อยของ ~iM~iและ สำหรับทุก ๆ ~im~i(+,ฮ)~iM~i, ~iN~i + ~im~i = ~im~i + ~iN~i เราจะเรียกมอดูลเสมือน ~iM~i บน ~iR~i ว่าซิมเปิล ก็ต่อเมื่อ ~iM~i มีมอดูลเสมือนย่อยปกติเพียงสองตัวเท่านั้น คือ {0} และ ~iM~i กำหนดให้ ~iM~i เป็นมอดูลเสมือนบน ~iR~i เราจะเรียกมอดูลเสมือนย่อยปกติ ~iM~i(,1)และ ~iM~i(,2) ของ ~iM~i ว่า ซับพลีเมนเทอรีก็ต่อเมื่อ ~iM~i = ~iM~i(,1)(+,ล) ~iM~i(,2)และเราจะเรียกมอดูลเสมือนย่อยปกติ ~iN~i ของ ~iM~i ว่าไดเรคซัมมานด์ก็ต่อ เมื่อมีมอดูลเสมือนย่อยปกติ ~iP~i ของ ~iM~i ซึ่ง ~iN~i และ ~iP~i เป็นซับพลีเมนเทอรี ผลสำคัญของงานวิจัยมีดังนี้ การทำให้ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมพื้นฐาน 4 ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทไชเออร์และทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอ ในทฤษฎีมอดูล เป็นกรณีทั่วไปในมอดูลเสมือน นอกจากนี้จะได้ทฤษฎีบทดังต่อไปนี้~uทฤษฎีบท 1~u กำหนดให้ ~iM~i เป็นมอดูลเสมือนบน ~iR~i ถ้า ~iM~i เป็นมอดูลเสมือนอาธีเนียนและโนธีเรียนแล้ว ~iM~i จะมีอนุกรมคอมโพสิชัน~uทฤษฏีบท 2~u กำหนดให้ ~iM~i เป็นมอดูลเสมือนบน ~iR~i ถ้า ~iM~i เป็นผลรวมของมอดูลเสมือนย่อยปกติของ ~iM~i ซึ่งซิมเปิลแล้ว ทุก ๆ มอดูลเสมือนย่อยปกติของ ~iM~i เป็นไดเรคซัมมานต์