เราจะเรียกสิ่งทั้งสามสิ่งที่เป็นอันดับ(K, +, (...)) ว่า ศูนย์-กึ่งสนามเสมือน ก็ต่อเมื่อ1) (K,(...)) เป็นกลุ่มที่มี 0, 2) (K, +) เป็นกึ่งกลุ่ม,3) สำหรับทุก ๆ x, y, z (...) K, x(y + z)= xy + xzและ (y + z)x = yx + zx, และ 4) สำหรับทุก ๆ x (...) K,x + 0 = 0 = 0 + x สำหรับศูนย์-กึ่งสนามเสมือน K เราจะใช้สัญญลักษณ์ K('*) แทน K{0} เราจะเรียกสิ่งทั้งสี่ที่อันดับ(K,+,(...),(<,=) ว่า ศูนย์-กึ่งสนามเสมือนอันดับบวกก็ต่อเมื่อ (K,+,(...)) เป็นศูนย์-กึ่งสนามเสมือนและ (<,=)เป็นอันดับบางส่วนบน K ซึ่งสำหรับทุก ๆ x, y, z (...) K1) ถ้า x (<,=) y แล้ว x+z (<,=) y + z, z+x (<,=) z+y,xz (<,=) yz และ zx (<,=) zy และ 2) x (>,=) 0จะเรียกสับเซต P = { x (...) K/x(>,=)1} ของศูนย์-กึ่งสนามเสมือนอันดับบวก K ว่าเป็นกรวยบวก K ให้ { K(,i) / i(...) l} เป็นวงศ์ของศูนย์กึ่ง-สนามเสมือนอันดับบวก ผลคูณตรง ของวงศ์ {K(,i)/i(...)l}คือเซตของสมาชิกทั้งหมด (x(,))(,i) (...)(,l) ในผลคูณคาร์ทีเซียนของวงศ์ {K(,i)('*) / i(...)l} และ 0 เมื่อ0 = (O(,i))(,i)(...)(,l) กับการดำเนินการตามส่วนประกอบ ให้ L เป็นกึ่งสนามย่อยของผลคูณตรงของ {K(,i)/i (...) l} จะเรียก L ว่าผลคูณตรงย่อย ของ {K(,i) /i (...) l} ก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ๆ j (...) l, II(,i)(L)= K(,j) เมื่อ II(,j) เป็นการส่งภาพฉาย จะเรียกศูนย์-กึ่งสนามเสมือนอันดับบวกว่า ปิดอย่างปริพันธ์แบบบริบูรณ์ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆ a (...) K, ถ้ามี b (...) K ซึ่งa('n) (<,=) b สำหรับทุก ๆ n (...) Z('+) แล้วจะได้ว่าa (<,=) 1ทฤษฎีบท 1 ให้ K เป็นศูนย์-กึ่งสนามเสมือนอันดับบวกและP (...) K('*) และ P('-1) = { x('-1)/x(...) P}สมมติว่า P สอดคล้องเงื่อนไขดังต่อไปนี้ 1) เป็นกึ่งกลุ่มย่อยปกติภายใต้การคูณของ K('*) 2) P (...) P(-1) ={1} 3) สำหรับทุก ๆ x (...) K, 1 + x, x + 1 (...) Kและ 4) สำหรับทุก ๆ x,y (...) K และ a, b (...) Kซึ่ง a + b = 1 จะได้ว่า ax + by (...) P ดังนั้นจะมีอันดับบวกเข้ากันได้บวกได้อย่างเดียวบน K ที่มาจาก P ซึ่ง Pเป็นกรวยบวก ยิ่งไปกว่านั้นจะมีไอโซมอร์ฟิซึมที่เป็นอันดับจากเซตของสับเซตทั้งหมดของ K('*) ที่สอดคล้องกับ 1)-4)ไปทั่งถึงเซตของอันดับเข้ากันได้บวกบน K ทั้งหมดทฤษฎีบท 2 ศูนย์-กึ่งสนามเสมือนแลตทิซบวก K จะถูกฝังในศูนย์-กึ่งสนามเสมือนแลตทิซบวกบริบูรณ์ก็ต่อเมื่อ K ปิดอย่างปริพันธ์แบบบริบูรณ์