Riemann zeta function เป็นฟังก์ชันเลขคณิตซึ่งไม่สอดคล้องกับสมการผลต่างเชิง อนุพันธ์แบบพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเชิงซ้อน หรืออาจกล่าวได้ว่า Riemann zeta function เป็น differentially transcendental ซึ่งก่อให้เกิดคาถามตามมาหลายข้อ เช่น 1. มีฟังก์ชันเลขคณิตอื่นอีกหรือไม่ที่เป็น differentially transcendental 2. สาหรับฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็น differentially transcendental เราจะมีข้อสรุป อย่างไรเกี่ยวกับพฤติกรรมเชิงปริมาณ เมื่อแทนฟังก์ชันเลขคณิตนั้น และอนุพันธ์อันดับต่างๆ ของมัน ในสมการพีชคณิตซึ่งเราจะเรียกว่า ตัววัดเชิงปริมาณของ differential transcendence โครงการวิจัยนี้มีจุดประสงค์หลักสองข้อซึ่งจะเป็นการตอบคาถามข้างต้นทั้งสองข้อ นั่นคือ 1. กาหนดเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทาให้ฟังก์ชันเลขคณิตเป็น differentially transcendental และ 2. หาตัววัดเชิงปริมาณของ differential transcendence สาหรับฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็น differentially transcendental Riemann zeta function does not satisfy any algebraic differential difference equations with complex coefficients , that is , Riemann zeta function is a differentially transcendental function. There are some questions about this property , for example, 1. Are there other differentially transcendental functions? 2. How can we conclude about the quantitative behavier of an arithmetic function in an algebraic differential difference equations? This quantitative behavier is called measure of independence . The two main proposes of this work are the answers of the above questions, that is, 1. find the necessary and sufficients conditions for differentially transcendental functions, 2.find the measure of independence of differentially transcendental functions.