งานวิจัยนี้นำเสนอชุดความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์ที่สมบูรณ์ที่ลดระดับความเป็นเอกฐานสำหรับพื้นผิวไม่ต่อเนื่องในตัวกลางไร้ขอบเขตสามมิติ ความสัมพันธ์ดังกล่าวถูกพัฒนาขึ้นในรูปแบบทั่วไปทำให้สามารถประยุกต์ใช้ในการจำลองปัญหาค่าขอบเขตได้หลายประเภท อาทิเช่น ปัญหาการไหลในตัวกลางที่มีความพรุน ปัญหาการนำความร้อนแบบคงตัว ปัญหายืดหยุ่นเชิงเส้น และปัญหาที่เกี่ยวข้องกับรอยแตกร้าวในวัสดุยืดหยุ่นหรือวัสดุอัจฉริยะ เป็นต้น นอกจากนี้ความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์ที่พัฒนาขึ้นสามารถประยุกต์ใช้กับพื้นผิวไม่ต่อเนื่องที่มีเรขาคณิตและการกระจายตัวของค่าการกระโดดแบบทั่วไปได้ ซึ่งทำให้สามารถนำความสัมพันธ์ดังกล่าวมาใช้ในการจำลองพื้นผิวไม่ต่อเนื่องแบบดิสโลเคชันและรอยแตกร้าวได้ จุดเด่นที่สำ คัญสำ หรับในกรณีดิสโลเคชันคือความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์สำหรับตัวแปรสถานะ อนุพันธ์ของตัวแปรสถานะ ฟลักซ์ภายใน และพลังงานปฏิพันธ์ทั่วไป เขียนอยู่ในรูปปริพันธ์บนเส้นตามขอบของดิสโลเคชันเท่านั้น ผลที่ได้ดังกล่าวนี้เป็นประโยชน์สำหรับใช้ในการศึกษาและจำลองพื้นผิวดิสโลเคชัน ส่วนในกรณีของรอยแตกร้าว สมการกำกับหลักเขียนอยู่ในรูปของสมการปริพันธ์แบบสมมาตรและเคอร์เนลที่เกี่ยวข้องทุกตัวเป็นแบบเอกฐานอย่างอ่อนเท่านั้น สมการดังกล่าวใช้เป็นสมการพื้นฐานในการพัฒนาระเบียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับวิเคราะห์ปัญหารอยแตกร้าวคือ ระเบียบวิธีกาเลอร์คินบาวดะรีเอลีเมนต์แบบสมมาตรเชิงเอกฐานอย่างอ่อนส่วนประกอบที่สำคัญสำหรับใช้ในการพัฒนาชุดความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์ดังกล่าวคือ การใช้การแยกแบบพิเศษของเคอร์เนลในขั้นตอนการเปลี่ยนที่อนุพันธ์ด้วยทฤษฎีของสโตกส์ การมีอยู่ของการแยกแบบพิเศษยืนยันโดยอาศัยการพิจารณาความเป็นเอกฐานของเคอร์เนลที่เกี่ยวข้อง และผลเฉลยเฉพาะสามารถหาได้จากการแก้ระบบสมการอนุพันธ์บางส่วนด้วยวิธีการแปลงแบบแรดอน ผลเฉลยสุดท้ายอยู่ในรูปของปริพันธ์บนวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยที่เหมาะสมสำหรับการหาค่าเชิงตัวเลข เพื่อยืนยันความถูกต้องของสมการปริพันธ์ที่พัฒนาขึ้น ทำการทดลองเชิงตัวเลขโดยใช้ระเบียบวิธีกาเลอร์คินบาวดะรีเอลีเมนต์แบบสมมาตรเชิงเอกฐานอย่างอ่อนในการวิเคราะห์ปัญหาค่าขอบเขตแบบต่างๆและพบว่าผลเฉลยประมาณที่ได้จากการทดลองมีความถูกต้องสูงและขึ้นอยู่กับระดับความละเอียดของชิ้นส่วนเพียงเล็กน้อยเท่านั้น A complete set of singularity-reduced boundary integral relations has been established for discontinuities embedded in general, linear three-dimensional infinite and finite media. The development is carried out within a broad context that allows the treatment of various classes of linear, second order, elliptic boundary value problems such flow in porous media, steady-state heat conduction problems, linear elasticity problems, problems involving fractures in either elastic materials or smart (or active) materials. In addition, resulting boundary integral representations are applicable to general discontinuities of arbitrary geometry and possessing general jump distribution. The latter aspect allows the treatment of two special types of discontinuities: dislocations and cracks. The most attractive feature of the current development is that all integral relations for field quantities such as state variables and their gradients, the body flux, and the generalized interaction energy produced by dislocations are expressed only in terms of line integrals over the dislocation loops and, for cracks, the key governing boundary integral equation is established in a symmetric weak-form and contains only weakly singular kernels of order O(1/r). Results for the former case are fundamental and useful in the context of dislocation mechanics and modeling while the resulting weakly singular, weak-form boundary integral equations constitutes a basis for the development of a well-known numerical technique, called a symmetric Galerkin boundary element method (SGBEM), for analysis of cracks in three-dimensional media. The weakly singular nature of such integral equations allows low order interpolations be used in the numerical approximation. The key ingredient to achieve such development of integral representations is the use of certain special decompositions in the derivative-transferring process via Stokes' theorem. Existence of such decompositions is ensured by a careful consideration of singularity nature of the kernels, and a particular solution of involved weakly singular functions is obtained by solving a system of partial differential equations via a method of Radon transform. The final results, for general anisotropy, are given in a concise form in terms of an equatorial line integral that is suitable for numerical evaluation. As parts of verification, a numerical experiment is carried out for various boundary value problems via use of a weakly singular SGBEM and results exhibit only mild dependence on mesh refinement and excellent agreement with existing analytical solutions