ปัญหา 3x+1 เป็นปัญหาเกี่ยวกับพฤติกรรมของการดำเนินการซ้ำของฟังก์ชันซึ่งนิยามโดย (3x+1)/2 เมื่อ x เป็นจำนวนคี่ ~iT(x)~i= x/2 เมื่อ x เป็นจำนวนคู่ข้อความคาดการณ์ 3x+1 กล่าวว่า ถ้าเริ่มต้นจากจำนวนเต็มบวก (+,a) ใด ๆ ดำเนินการส่งด้วยฟังก์ชันข้างต้นซ้ำ ๆ กันในที่สุดจะได้ค่าเป็น 1 ในวิทยานิพนธ์ฉบับนี้เราจะขยายการศึกษาปัญหาดังกล่าวดังนี้ ให้ Z* เป็นเซตของ ~ik~i 0 จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมด ให้ ~ik~i เป็นจำนวนเฉพาะคงที่และ ~iD~i= 0 ~ik~I ~iD('-1)(+,a) เมื่อ ~iD('-1)(+,a)~i(+,ฮ)Z('2)(,*) ~iT(+,a)~i = ~iA(+,a)~i+~i(+,b)~i เมื่อ ~iD('-1)(+,a)~i(+, )Z('2)(,*) ผลการวิจัยที่รายงานในวิทยานิพนธ์ฉบับนี้เกี่ยวกับการยืนยันว่าแนววิถี <~i(+,a),T((+,a)), T('2) ((+,a)),...> จะเป็นวัฏจักรหรือไม่ เราพิสูจน์ว่าสำหรับเมตริกซ์ ~iA~iบางรูปแบบแนววิถีไม่เป็นวัฏจักรไม่ว่าจะเลือก ~i(+,b)(+,ฮ)Z('2)(,*) เป็นค่าใดก็ตามและสำหรับเมตริกซ์ ~iA~i บางรูปแบบค่าของ ~i(+,b)~i ที่กำหนดให้จะรับประกันได้ว่าแนววิถีจะเป็นวัฏจักร CYCLIC TRAJECTORY / 3~ix~i+1 PROBLEM