ในปี ค.ศ. 1959 แคชเวลล์ และ เอเวอเรต ได้พิสูจน์ว่าเซตของฟังก์ชันเลขคณิตค่าเชิงซ้อนประกอบกันเป็นโดเมนที่มีการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว ภายใต้การบวกและสังวัตนาการ ในวิทยานิพนธ์นี้เราขยายผลนี้ไปในสองทิศทาง ทิศทางที่หนึ่ง เราแทนเซตของจำนวนธรรมชาติและสนามจำนวนเชิงซ้อนด้วยกึ่งกลุ่มเชิงเลขคณิตและโดเมน D ซึ่งแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว ตามลำดับ และพิสูจน์ว่าเมื่อวงของอนุกรมกำลังรูปนัยในตัวไม่กำหนดจำนวนจำกัดเหนือ D เป็นโดเมนซึ่งแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวแล้ว เซตของฟังก์ชันเลขคณิตเทียมทั้งหมดจาก S ไปยัง D เป็นโดเมนซึ่งแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวภายใต้การบวกและสังวัตนาการ ทิศทางที่สอง เราแทนสนามจำนวนเชิงซ้อนด้วย วงที่มีการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (+,ย) ซึ่งมีตัวหารของศูนย์ และพิสูจน์ว่าเมื่อวงของอนุกรมกำลังรูปนัยในตัวไม่กำหนดจำนวนจำกัดเหนือ (+,ย)เป็นวงที่มีการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวซึ่งมีตัวหารของศูนย์ และ วงของอนุกรมกำลังรูปนัยในตัวไม่กำหนดจำนวนอนันต์นับได้เหนือ (+,ย) เป็นวงกระชับแล้ว เซตของฟังก์ชันเลขคณิตค่าเหนือ (+,ย)เป็นวงที่มีการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวซึ่งมีตัวหารของศูนย์ ภายใต้การบวกและสังวัตนาการ วิธีการพิสูจน์ที่ใช้มาจากการวิเคราะห์วิธีการของ แคชเวลล์ และ เอเวอเรต (1959) และ ลู่ (1965)อย่างละเอียด โดยมีการปรับปรุงเพิ่มเติม พร้อมด้วยแนวคิดเพิ่มเติมได้แก่ กฎการตัดออกอย่างอ่อนและความกระชับ