เราจะเรียสิ่งทั้งสามที่เป็นอันดับ (K,+,.) ว่าศูนย์-กึ่งสนาม ก็ต่อเมื่อ 1)(K,.) เป็นกลุ่มสลับที่ที่มีO, 2) (K,+) เป็นภึ่งกลุ่มสลับที่, 3)สำหรับทุก ๆx, y, z (...) K, x(y+z) = xy+xz และ 4)สำหรับทุก ๆx (...) K, x+0 = x. สำหรับศูนย์-กึ่งสนาม K('*)เราจะใช้สัญลักษณ์ K แทน K-{0} และเราจะเรียกสิ่งทั้งสี่ที่อันดับ (K,+,.,<(,-)) ศูนย์-กึ่งสนามอันดับบวกก็ต่อเมื่อ (K,+,.) เป็นศูนย์-กึ่งสนาม และ <(,-) เป็นอันดับบางส่วนบน K ซึ่งสำหรับทุก ๆ x,y, z (...) K 1)ถ้า x<(.-) y แล้ว x + z < (,-) y+z และ xz <(,-) yzและ 2) x >(,-) O จะเรียกสับเซต P = {x (...) K (...) x>(,-)1} ของศูนย์-กึ่งสนามอันดับบวก K ว่ากรวยบวก ของ K. ให้ {K(,i) (...) I} เป็นวงศ์ของศูนย์-กึ่งสนามอันดบบวก ผลคูณตรงของวงศ์ {K(i) (...) i (...) I}คือเซตของสมาชิกทั้งหมด (x(,i) (,i) (,...)(,I)ในผลคูณคาร์ทีเซียนของวงศ์ {k(,i)('*) (...) i(...)I} และ O เมื่อ O = (O(,i)) (,i (...) (,I)กับการดำเนินการไปตามส่วนประกอบให้ L เป็นกึ่งสนามย่อยของผลคูณตรงของ {K(,i) (...) (,i) (...)I).จะเรียก L ว่าผลคูณตรงย่อยของ {K(,i) (...) i (...)I} ก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ๆ J (...) I, II (,j)(L) = K(,J)เมื่อ II(,j) เป็นการส่งภาพฉาย จะเรียกศูนย์-กึ่งสนามอันดับบวกทุกส่วน K ว่าเป็นอาร์คีมีเดียนก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ๆ x, y (...) K(,*), ถ้า x